8
Решающая роль деятельности Декарта, чья геометрия поя-
вилась в 1637 г., заключалась не в установлении нового
метода или новых воззрений в области традиционной геометрии,
* Во II в. по Р.X. Александрия перестает быть мировым
городом и превращается в сохранившуюся от времени античной цивилизации массу
домов, в которых обитает примитивно чувствующее, душевно иначе устроенное
население. Об этом феномене мы скажем позднее.
132
как это принято говорить, но в окончательной концепции но-
вой идеи числа, выразившейся в освобождении геометрии от
оптических приемов конструкции и вообще от измеренных
или измеряемых расстояний. Таким образом получил свое
осуществление анализ бесконечного. Неподвижная, так
называемая картезианская система координат, идеальный представитель измеримых
величин в полуэвклидовском смысле, имевшая еще значение в предшествующий
период, как, например, у Николая Оресмского, была не столько закончена
благодаря Декарту, но, если заглянуть глубже в его рассуждения, совершенно
преодолена им. Его современник Ферма был последним представителем старой
классической теории.
Вместо чувственного элемента конкретного отрезка прямой
линии и поверхности — специфического выражения античного чувства предела —
появляется элемент отвлеченно-пространственный и таким образом совершенно не
античный элемент точки, характеризуемой отныне как группа сопряженных чистых
чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственных
размеров и заменил его изменяющейся значимостью отношений положения в
пространстве. Однако упускают из вида, что это было равносильным упразднению
геометрии вообще, которая с того времени среди мира чисел анализа ведет только
призрачное существование, завуалированное античными реминисценциями. В слово
«геометрия» вложен неустраняемый аполлоновский смысл. После Декарта так называемая
"новая геометрия" превратилась или в синтетический процесс,
определяющий посредством чисел положение точек в каком-нибудь пространстве,
притом не обязательно трехмерном (в некоторой "множественности
точек"), или в аналитический процесс, определяющий числа положением точек.
Заменять отрезки прямой положениями — значит воспринимать понятие протяженности
чисто пространственно, но уже не телесно.
Классическим примером этого разрушения принятой по
наследству оптически-конечной геометрии, по моему мнению,
является обращение круговых функций, имевших в индийской
математике в совершенно малопонятном для нас смысле значение чисел — в
циклометрические функции и дальнейшее их разрешение в ряды, утратившие в
бесконечной числовой области алгебраического анализа признаки даже самого
отдаленного сходства с геометрическими образованиями в стиле Эвклида. Число л,
так же как и основание натуральных логарифмов, создает в этой числовой области,
повсюду вновь появляясь, отношения, разрушающие всякие границы прежней геометрии,
тригонометрии и алгебры, не имеющие
133
ни арифметического, ни геометрического характера, при
обращении с которыми притом никто более не думает ни о действительно
нарисованных кругах, ни о действительном исчислении степеней.
9
Подобно тому, как античная душа в лице Пифагора около
54 г. выработала свою концепцию аполлоновского числа
как
измеримой величины, западноевропейская душа в лице Декарта и
его современников (Паскаля, Ферма, Дезарга) в точно соответствующую эпоху
открыла идею числа, родившуюся из страстного фаустовского стремления к
бесконечному. Число как чистая величина, привязанная к телесному наличию
отдельных вещей, имеет параллелью число как чистое отношение. Если определять
античный мир, космос, исходя из его внутреннего требования видимой границы, как
исчисляемую сумму материальных предметов, то, со своей стороны, наше
мирочувствование находит свое выражение в образе бесконечного пространства, в
котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное по отношению к
чему-то безусловному, или даже, пожалуй, как действительность низшего порядка.
Его символом является решающее, ни в какой другой культуре не встречающееся
понятие функции. Функция не есть какое-то расширение одного из ранее имевшихся
числовых понятий; она является их полным преодолением. Таким образом, не только
эвклидовская, т. е. общечеловеческая популярная геометрия, но и
архимедовская сфера элементарного счисления, т. е. арифметика, перестают
существовать для действительной обладающей значением математики Западной Европы.
Остается один отвлеченный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика
были научными комплексами высшего порядка, причем и та и другая были наглядными
и обращались с величинами при помощи графических и счетных приемов; для нас они
только практические пособия повседневной жизни. Сложение и умножение, эти два
античных метода счисления величин, родственных графическому конструированию,
совершенно исчезают в бесконечности функциональных процессов. Так, например,
степени, по своему принципу являющиеся первоначально просто числовыми
обозначениями определенных групп умножений (для множителей одинаковой
величины), при посредстве нового символа показателя степени (логарифм) и
способа его применения в комплексных, отрицательных и дробных формах становятся
совершенно отрешенными от понятия величины и переносятся
134
в трансцендентальный мир отношений, который для грека,
знавшего только две целые степени в качестве изображения
поверхности и тела, является совершенно недоступным (стоит
только припомнить такие выражения, как е-?nvx, а1/ i).
Все глубокомысленные создания, быстро следующие одно
за другим, начиная с эпохи Ренессанса, как-то: мнимые и
комплексные числа, введенные Карданом уже в 1550 г.,
бес-
конечные ряды, получившие благодаря великому открытию
закона бинома Ньютоном в 1666 г. точное теоретическое
обоснование, открытие логарифмов в 1610 г.,
дифференцильной геометрии, определенного интеграла Лейбницем, открытие
множества как новой числовой единицы, намеченное уже Декартом, новые процессы,
как-то: неопределенного интегрирования, развертывание функций в ряды, даже в
бесконечные ряды других функций, — все они являются столькими же победами
над укоренившимся в нашей душе популярно-чувственным ощущением чисел, которое
нужно еще было преодолеть в духе новой математики, имевшей своей целью
осуществить новое мирочувствование. Не было еще ни одной другой культуры,
которая относилась бы с равным уважением к созданиям иной, давно погибшей
культуры и давала такой простор в своей науке ее влияниям, как это делала западноевропейская
по отношению к античной. Прошло много времени, пока мы нашли в себе смелость
думать своим умом. На первом плане всегда лежало стремление во всем сравняться
с античностью. Однако каждый шаг в этом направлении был удалением от
намеченного идеала. Поэтому история западноевропейской науки представляет собою
картину непрерывной эмансипации от чуждого и освобождения, к которому никто не
стремился, но которое вынужденно вырастало из глубины бессознательного. Таким
образом, развитие новой математики сложилось в тайную, долгую, наконец,
победоносную борьбу против понятия величины.
|
