100bestbooks.ru в Instagram @100bestbooks
| Автор: | Роза Петер |
| Оригинальное название: | Das Spiel mit dem Unendlichen |
| Метки: | Аллегория |
| Язык оригинала: | Венгерский |
| Год: | 1943 |
| Входит в основной список: | Нет |
| Купить и скачать: | Загрузка... |
| Скачать ознакомительный фрагмент: | Загрузка... |
| Читать ознакомительный фрагмент: | Загрузка... |
|
Описание: Роза Петер, венгерский учёный, доктор математических наук, лауреат премии Кошута, профессор Будапештского университета, написала немало книг и научных статей. Она принимала активное участие в создании важной области современной математики - теории рекурсивных функций, о которой в 1951 году написала первую в истории науки монографию.
|
|
| « |
Вступление
Я часто вспоминаю разговор с одним из моих друзей-писателей. Он сокрушался тогда по поводу того, что не может считать себя вполне образованным человеком, будучи абсолютным невеждой в математике. Этот недостаток сказывался даже в его повседневной Писательской Работе. Он пользовался при сравнениях математическими понятиями, которые запали ему в память ещё на школьной скамье, - например, системой координат. Однако же друг мой был убеждён, что для него, Писателя, нашлось бы в математике ещё очень и очень много полезного материала и как Рассказчик он лишён возможности черпать из этого богатого источника. С другой стороны, сетования эти казались ему бесплодными из-за неспособности углубиться в математические дебри. Воспоминания об этом разговоре не давало мне покоя, побуждало к размышлениям и заставляло строить планы. То, что здесь широчайшее поле деятельности, для меня было ясно с самого начала; ведь для меня в математике решающим является эмоциональный элемент, а разве не из этого источника черпают писатели и художники? Приведу пример из моих студенческих лет. С группой университетских друзей мы отправились смотреть пьесу Бернарда Шоу. По ходу действия герой просит героиню открыть ему тайну: как это она умудряется не только ладить, но и управлять даже самыми строптивыми людьми? Героиня приходит к выводу, что получается так потому, что, в сущности, она держит всех на значительном расстоянии от себя. И тут одна из студенток воскликнула вдруг: "Да ведь это точно по математической теореме, которую нам сегодня доказали!" Математическая задача была такая: можно ли из данной внешней точки подойти к множеству точек таким образом, чтобы приблизиться сразу ко всем точкам множества? Ответ таков: можно при условии, что данная точка достаточно удалена от множества точек... ...4. Ученик чародея Понятие делимости таит в себе много интересного, поэтому полезно ещё немного поразвлечься фокусами с делением. Например, нас должно позабавить, что существуют дружественные числа. Два числа являются д р у ж е с т в е н н ы м и или с о д р у ж е с т в е н н ы м и, когда сумма собственных делителей одного числа равна другому числу. и наоборот. Само число мы не относим к его собственным делителям (например, собственными делителями числа 10 суть 1, 2, и 5). Такими дружественными числами являются, например, 220 и 284 , потому что Сумма собственных делителей числа 220 равна: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 а сумма собственных делителей числа 284 равна: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220... ...11. Мы снова ухватываем бесконечность... ...Бесконечные ряды Один знаменитый математик, будучи ещё маленьким учеником, объяснил себе сам понятие бесконечной суммы на таком примере. Чтобы привлечь внимание покупателей к определённому сорту шоколада, кондитер вкладывает в обёртку каждой плитки шоколада талон. Предъявив 10 таких талонов, можно получить новую плитку шоколада. Сколько на самом деле стоит шоколад вместе с упаковкой? Очевидно, речь не идёт о стоимости одной только плитки шоколада, потому что под обёрткой есть ещё талон, за который мы получаем ещё 0,1 плитки (за 10 талонов - одну плитку). К этой десятой части плитки шоколада относится ещё десятая часть талона, а поскольку за один талон мы получаем 0,1 плитки шоколада, то за 0,1 талона мы получаем одну десятую этого количества, то есть 0,01 плитки шоколада. К этой 0,01 плитки относится ещё 0,01 талона, за которую мы снова получаем десятую часть предыдущего количества; десятой частью 0,01 будет 0,001 плитки. Так рассуждать мы можем без конца. Очевидно, что эта цепь "добавок" не кончится никогда, и поэтому шоколад вместе с талоном стоит 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... плитки шоколада. А теперь обнаружим другим способом, что стоимость шоколада вместе сталоном равна одна целая одна девятая. Число 1 является, очевидно, стоимостью самого шоколада без упаковки; значит, нужно только доказать, что стоимость талона равна одной девятой плитки шоколада. А для этого достаточно обнаружить, что 9 талонов имеют стоимость одной плитки шоколада; тогда наверняка 1 талон имеет стоимость в 9 раз меньшую. Тот факт, что 9 талонов стоят ровно столько же, сколько одна плитка шоколада, можно тотчас же установить. Допустим, у меня 9 талонов. Я иду в кондитерскую и говорю: "Дайте мне, пожалуйста, (далее следует иллюстрация издательства "Молодая гвардия" серии "Эврика" в характерной для этой серии несколько придурашенной манере: пройдоха с талонами в руке торжественно бежит высунув язык и с текущей слюнкой к страдальчески схватившемуся за голову продавцу плиток шоколада) плитку шоколада. Я сразу же её съем, а после заплачу". Я съедаю шоколад, и у меня остаётся приложенный к этой плитке талон. Теперь у меня 10 талонов, и я могу погасить при их помощи свою задолженность. Счёт абсолютно равный: плитка шоколада съедена, зато у меня нет и талонов. Таким образом, 9 талонам соответствует одна плитка шоколада, или же один талон имеет стоимость одну девятой плитки, и поэтому шоколад вместе с талоном обладает стоимостью, точно равной стоимости одной целой одной девятой плитки шоколада. И поэтому сумма бесконечного ряда 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... абсолютно точно равняется одной целой одной девятой. Сумма эта не просто достижима, но - в нашем примере - даже съедобна. Этот результат можно сформулировать следующим образом: если какая-то величина в первом грубом приближении равняется 1, в несколько лучшем приближении равняется 1 + 0,1, в ещё лучшем приближении, но всё ещё неточно, равняется 1 + 0,1 + 0,01 и т. д. до бесконечности, то абсолютно точным её значением является число Один и одна девятая... ...часть III САМОКРИТИКА ЧИСТОГО РАЗУМА 18. И всё же существует множество математических миров... Квадратура круга Пожалуй, каждому известному математику доводилось быть участником импровизированной сценки: некий таинственный Незнакомец доверяет ему своё величайшее сокровище - более или менее объёмистую рукопись, в которой "наконец-то осуществлена" квадратура круга. Два последних слова - многие читатели, наверное, сталкиваются с ними не в первый раз - обладают поистине необычной притягательной силой. В чём же здесь, собственно, дело?.. ...21. Перед трибуналом сверхматематики Пришло время взять строго ограниченную ветвь математики и посмотреть, не могут ли там объявиться противоречия. Мы уже знаем, каким способом достигается такое ограничение. Выберем исходные условия, или аксиомы, и положим, что вся отрасль науки складывается из того, что может быть выведено из данных аксиом. Теория доказательства Аксиомы можно записать на языке символической логики; в таком случае они будут состоять только из последовательности математических и логических знаков, без использования какого-либо слова, способного вызывать недоразумения. Нужно также чётко установить, что значит "нечто можно вывести из аксиом", то есть нужно чётко сформулировать правила вывода... ...Здесь Мы, пожалуй, и поставим точку. Мы добрались до пределов Современной математической мысли. Наша эпоха - это эпоха пробуждения и развития знаний. В этом математика также сыграла свою роль: она сама открыла границы своих собственных возможностей. Имеем ли Мы, однако, право сказать, что мы достигли последних пределов, непреодолимых преград? Из всех тупиков в истории математики находился всегда какой-то выход. Да и в доказательстве Черча есть один многозначительный момент. Черч должен был точно определить, что они имеет в виду, говоря о "всех математических средствах, какие только можно сегодня представить". Лишь после того как такое определение дано, можно применять к этому понятию математические методы. Однако дать формулировку какого-либо понятия или явления - значит тем самым подвергнуть его одновременно некоторому ограничению. А всякий забор стеснителен. Появляющиеся неразрешимые проблемы не выносят этого стеснения и выскальзывают вовне. Будущее развитие математики наверняка расширит её горизонты, хотя сегодня далеко не всегда ещё ясно, как именно это может осуществиться. Одно мы должны запомнить раз и навсегда: математика не является чем-то статичным и замкнутым, это наука, живущая всё более и более напряжённой жизнью, постоянно развивающаяся. Как только её пытаются замкнуть в какие-то строгие формы, она непременно находит лазейку и рано или поздно вырывается на Свободу, утверждая свою жизнеспособность. |
» |
